Análise Descritiva

Medidas de tendência central

Essas medidas indicam, em geral, um valor central em torno do qual os dados estão distribuídos. As principais medidas de tendência central são a média aritmética, mediana e moda.

(99.5*13+139.5*150+179.5*442+219.5*299+259.5*115+299.5*34+339.5*9+379.5*5)/1067

[1] 198.844

x<-rpois(20,10)
sort(x)

 [1]  4  5  8  8  8  8  8  9  9 10 10 11 11 11 12 13 13 14 15 19

median(x)

[1] 10

moda <- function(x) {
  z <- table(as.vector(x))
  names(z)[z == max(z)]
}
moda(x)

[1] "8"

Medidas de dispersão

Medidas de dispersão servem para quantificar a variabilidade dos valores em um conjunto de dados. Há várias medidas de dispersão muito úteis e utilizadas e vamos apresentar:

1. Amplitude total
2. Desvio médio absoluto
3. Variância
4. Desvio padrão
5. Coeficiente de variação

## Os dados
calcio <- c(2.92, 3.84, 2.37, 2.99, 2.67, 3.17, 3.74, 3.44)
albumina <- c(43, 42, 42, 40, 42, 38, 34, 42)
dados <- data.frame(calcio,albumina)
dados

  calcio albumina
1   2.92       43
2   3.84       42
3   2.37       42
4   2.99       40
5   2.67       42
6   3.17       38
7   3.74       34
8   3.44       42

## Amplitude total
amplitude <- max(dados$calcio)- min(dados$calcio)
## Desvio médio absoluto
desvio_medio_abs<-sum(abs(dados$calcio-mean(dados$calcio)))
## Variância
variancia<-round(var(dados$calcio),2)
## Desvio Padrão
desvio_padrão <- round(sd(dados$calcio),2)
## Coeficiente de variação
coef_var.<-round((desvio_padrão/mean(dados$calcio))*100,2)
resumo <- cbind(amplitude,desvio_medio_abs,variancia,desvio_padrão, coef_var.)
resumo

     amplitude desvio_medio_abs variancia desvio_padrão coef_var.
[1,]      1.47             3.24      0.26          0.51     16.23

x1<-c(74, 80, 79, 85, 81)
x1

[1] 74 80 79 85 81

mean(x1)

[1] 79.8

x2<-c(47, 80, 79, 85, 81)
x2

[1] 47 80 79 85 81

mean(x2)

[1] 74.4

## Entrando com os dados
x <- c(95, 98, 96, 95, 96)
y <- c(85, 106, 88, 105, 96)
## Calculando as médias e medianas
mean(x);median(x)

[1] 96

[1] 96

mean(y);median(y)

[1] 96

[1] 96

### Variância e desvio padrão dos Pacientes A
var(x);sd(x)

[1] 1.5

[1] 1.224745

### Variância e desvio padrão dos Pacientes B
var(y);sd(y)

[1] 91.5

[1] 9.565563

Separatrizes

São medidas que dividem os dados em um número de partes iguais. Para isso a amostra deve estar ordenada, portanto as separatrizes são aplicadas a variáveis quantitativas e qualitativas ordinais. Podemos citar como separatrizes, os percentis que dividem os dados em 100 partes iguais, os decis separam os dados em 10 partes iguais e os quartis que separam o dados em quatro partes iguais. O primeiro quartil (Q1) estabelece o limite entre as \(25\%\) menores observações e as \(75\%\) maiores. O segundo quartil (Q2) é igual a mediana e o terceiro quartil (Q3) separa as \(75\%\) menores observações das \(25\%\) maiores. Há uma forma de representar os quartis que é muito utilizada que é o gráfico boxplot. Abaixo vemos as medidas que o gráfico boxplot nos apresenta assim como os quartis. Vamos chamar a região interquartílica de RIC.

Vamos ver no R como podemos obter os quartis e também o gráfico boxplot com comandos básicos. Para isso vamos utilizar a mesma variável calcio do exemplo anterior.

summary(dados$calcio)

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  2.370   2.858   3.080   3.142   3.515   3.840 

boxplot.stats(dados$calcio)$stats 

[1] 2.370 2.795 3.080 3.590 3.840

quantile(dados$calcio, probs=seq(0,1,.25))

    0%    25%    50%    75%   100% 
2.3700 2.8575 3.0800 3.5150 3.8400 

Com os comandos summary(),boxplot.stas() e quantile(), obtemos os quartis, porém notem que há diferenças nos valores. A explicação para isso é que existem inúmeras maneiras de calcular quartis e todas estão corretas e tudo depende da implementação que a função adota. A função boxplot.stats() do R utiliza os quartis calculados pela função boxplot() que vai plotar o gráfico. A função boxplot.stats() adota uma implementação baseada em “hinges”, ou dobradiças. Uma boa ilustração é dada no site WolframMathWorld:http://mathworld.wolfram.com/Hinge.html. Já a função quantile() possui 8 tipos diferentes de implementações de cálculo de quartil. O default ou padrão é o tipo 7 e o help da função explica cada um deles, basta digitar no consoledo R help(quantile). A função summary() produz valores iguais aos calculados pelo default da função quantile().

Agora vamos ver como esses quartis calculados ficam no gráfico boxplot com os comandos do R.

boxplot(dados$calcio, staplewex = 1,horizontal = TRUE)
text(x = boxplot.stats(dados$calcio)$stats[c(2,3,4)], labels = boxplot.stats(dados$calcio)$stats[c(2,3,4)], y = 1.25)

Abaixo mais alguns exemplos de boxplot

####### "Invenção" de um conjunto de dados
n=500
col.1 = rep(NA,n)
s1.2009 = cumsum(rnorm(n))
s1.2010 = cumsum(rnorm(n))
s1.2011 = cumsum(rnorm(n))
s1.2012 = cumsum(rnorm(n))
s1.2013 = cumsum(rnorm(n))

dados = data.frame(cbind(col.1, s1.2009,s1.2010,
                         s1.2011,s1.2012, s1.2013))


####### Gráfico:

boxplot(dados[,-1], axes=FALSE) # O parametro axes=FALSE faz com que os eixos não sejam desenhados
title(col.main="blue",main= 'Indicador Hemoglobina, \n semestres compreendidos entre 2009 e 2013')

title(col.lab="blue",xlab= 'semestres') # Acrescenta o titulo do eixo X 
title(col.lab="blue",ylab= 'Percentual') # Acrescenta o titulo do eixo Y

box() # Desenha a caixa em torno do gráfico
axis(2) # Coloca o eixo Y 
axis(1, 1:5, c("1s09", "1s10", "1s11", "1s12", "1s13")) # Coloca no eixo X, nos pontos 1 a 5, as etiquetas  dos semestres compreendidos entre 1s09 e 1s2013

medias<-apply(dados[,-1],2,mean,na.rm=TRUE) # Calcula as médias
points(medias,col="red",pch=19) # Adiciona os pontos das médias no boxplot

Assimetria e Curtose

Como falamos de quartis e citamos que a mediana é o segundo quartil, também é importante dizer que ela é o segundo momento dos dados. Os momentos são muito importantes em Estatística para caracterizar distribuições de probabilidade. A média ou esperança matemática é o primeiro momento, a variância o segundo momento, com o terceiro momento podemos obter a assimetria e com o quarto momento podemos obter a curtose . Aqui vamos definir assimetria e curtose. O cálculo dos momentos e sua definição formal, assim como a definição de esperança matemática, serão apresentados na seção de probabilidade. Aqui vamos representar o k-ésimo momento por \(\mu_k\). Para descrever a assimetria e o achatamento, medidas de assimetria e de curtose podem ser usadas. A Assimetria analisa a proximidade ou o afastamento de um conjunto de dados quantitativos em relação à distribuição Normal (Gaussiana). Mede o grau de afastamento de uma distribuição em relação a um eixo central (geralmente a média), podendo-se caracterizar curvas assimétricas à direita ou à esquerda, o seu cálculo se dá pela expressão abaixo (na literatura há várias formas de calcular este coeficiente):

\[As=\frac{\mu_3}{\sigma^3} \]

Dessa forma podemos classificar o coeficiente de assimetria da seguinte forma:

• Se \(As=0\), distribuição é simétrica
• Se \(As>0\), distribuição assimétrica a direita (positiva)
• Se \(As<0\), distribuição assimétrica a esquerda (negativa)

Fonte: Ferreira, D. F. Estatística Básica. Ed. UFLA, 2005. 664 p.

A assimetria graficamente pode ser representada da seguinte maneira:

onde, no caso de populações finitas, o \(k\)-ésimo momento central é definido como

\[ \mu_k = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^k}{N} \, \,\]

A curtose ou medida de achatamento procura caracterizar a forma da distribuição quanto ao seu achatamento. O termo médio de comparação é dado pela Distribuição Gaussiana, que é um modelo teórico de distribuição a ser estudado no capítulo relacionado à Probabilidades. Quanto ao achatamento, podemos ter as seguintes situações:

• Platicúrticas
• Mesocúrticas
• Leptocúrticas

A medida de curtose pode ser calculada da seguinte maneira:

\[k=\frac{\mu_4}{\sigma^4}\]

De acordo com esta medida temos a seguinte classificação:

• k < 0, distribuição Platicúrtica
• k = 0, distribuição Mesocúrtica
• k > 0, distribuição Leptocúrtica

Agora um exemplo no R com um vetor de dados de uma variável quantitativa contínua:

x <-c(21.88, 22.61, 23.28, 25.19, 19.73, 22.50, 26.35, 22.09, 24.63, 19.79, 23.61, 29.91, 29.12, 23.17, 23.38, 21.75, 18.77, 20.38, 20.45, 28.23, 18.17, 30.15, 20.60, 19.99, 24.56, 25.59, 20.66, 23.76, 23.35, 22.77, 21.52, 20.54, 20.30, 23.45, 24.82, 24.30, 21.97, 20.82, 22.78)
plot(density(x),main='',xlab='')

Próximo passo é calcular as medidas de assimetria e curtose:

library(moments)
skewness(x)

[1] 0.8248495

kurtosis(x)

[1] 3.33151

Interpretação: A assimetria aqui é 0.8248495. Este valor implica que a distribuição dos dados é levemente assimétrica a direita ou positivamente assimétrica. É assimétrica a direita pois o coeficiente é positivo, e levemente, pois está próximo de zero. Para a kurtose, o valor é 3.3315098, implicando que a distribuição dos dados é Leptocúrtica, pois o valor de curtose é maior que 0.

Abaixo um exemplo de representação gráfica no R dos três tipo de curtose:

a <-c(-4,4)

h <-(a[2]-a[1])/1000
x <-seq(a[1],a[2],by=h)
z3 <-(1+cos(pi*x/3))/6
z3[which(x < -3)] <-0
z3[which(x > 3)] <-0
z1 <-dnorm(x)
z2 <-(cosh(pi*x/2)^(-1))/2
plot(c(-4,4),c(0,0.5), type="n", xlab="x",
     ylab="f(x)",main="Exemplos curtose",cex.main=1)
lines(x,z3, lwd=2, col="red4")
lines(x,z1, lwd=2, col="green4")
lines(x,z2, lwd=2, col="blue4")
legend(2.0,0.5,c(expression(kappa[1]),expression(kappa[2]),
                 expression(kappa[3])),bty="n",lty=c(1,1,1),
       col=c("red4","green4","blue4"),lwd=c(2,2,2),cex=0.8)
legend(2.7,0.50,c("= -0.594","= 0","= 2"),bty="n",cex=0.8)