Nas aulas de probabilidade conhecemos as distribuições mais usuais e seus respectivos parâmetros. Ao estimar esses parâmetros apresentamos seus valores pontuais. Esse procedimento não permite julgar qual a possível magnitude do erro que estamos cometendo. A principal restrição da estimação pontual é que quando estimamos um parâmetro através de um único valor numérico toda a informação presente nos dados é resumida através deste número. É importante encontrar também um intervalo de valores plausíveis para o parâmetro. Para isso serve a estimação intervalar, ou seja, o intervalo de confiança, que é baseado na distribuição amostral do estimador pontual. Vamos verificar como utilizar o R para obter intervalos de confiança para parâmetros de distribuições de probabilidade.
Consideremos uma amostra aleatória simples \(X_1 , . . . , X_n\) obtida de uma população com distribuição Normal, com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\) conhecida. Desta forma, a distribuição amostral da média também é Normal com média \(\mu\) e variância \(\displaystyle{\frac{\sigma^2}{n}}\), ou seja:
\[ \bar{x} \sim N \left( \mu, \displaystyle{\frac{\sigma^2}{n}} \right) \]
Assim temos que:
\[ Z = \displaystyle{\frac{\bar{x} - \mu}{\displaystyle{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}}} \sim N(0,1) \]
isto é, a variável \(Z\) tem distribuição normal padronizada.
\[ I.C. = \left( \bar{x} - Z_{(\alpha / 2)} \displaystyle{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} ; \bar{x} + Z_{(\alpha / 2)} \displaystyle{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \right) \]
Temos medidas dos comprimentos de 100 plantas que nasceram de sementes que foram plantadas ao mesmo tempo. Um histograma dos dados tem uma forma aproximadamente Normal, e a média amostral e o desvio padrão amostral foram \(74mm\) e \(2.34mm\), respectivamente. Construa um intervalo de confiança para o comprimento médio populacional de plantas dessa mesma espécie.
n<-100
z.mean<-74
z.sd<-2.34
se<-z.sd/sqrt(100)
IC.z<-z.mean + qnorm(c(0.025, 0.975)) * se
IC.z[1] 73.54137 74.45863Sabemos que o intervalo de confiança para média de uma distribuição normal com variância desconhecida, para uma amostra de tamanho n é dado por:
\[ I.C. = \left( \bar{x} - t_{(\alpha/2, g.l.)}\displaystyle{\frac{S}{\sqrt{n}}} ; \bar{x} + t_{(\alpha/2, g.l.)}\displaystyle{\frac{S}{\sqrt{n}}} \right) \]
O tempo de reação de um novo medicamento pode ser considerado como tendo distribuição Normal e deseja-se fazer inferência sobre a média que é desconhecida obtendo um intervalo de confiança. Vinte pacientes foram sorteados e tiveram seu tempo de reação anotado. Os dados foram os seguintes (em minutos):
## Entrando com os dados
tempo <- c(2.9, 3.4, 3.5, 4.1, 4.6, 4.7, 4.5, 3.8, 5.3, 4.9, 4.8, 5.7, 5.8, 5, 3.4, 5.9,
6.3, 4.6, 5.5, 6.2)
## Calculando o I.C. passo a passo
n<-length(tempo);n[1] 20t.mean<-mean(tempo);t.mean[1] 4.745t.var<-var(tempo);t.var[1] 0.9920789se<-sqrt(t.var/n);se[1] 0.2227194## A seguir montamos o intervalo utilizando os quantis da distribuição t, para obter um
## IC a 95% de confiança.
IC.m<-t.mean + qt(c(0.025, 0.975), df = n - 1) * se
IC.m[1] 4.278843 5.211157Agora escrevendo uma função
IC <- function(x, conf = 0.95) {
n <- length(x)
media <- mean(x)
variancia <- var(x)
se <-sqrt(variancia/n)
quantis <- qt(c((1 - conf)/2, 1 - (1 - conf)/2), df = n - 1)
ic <- media + quantis * se
return(ic)
}
IC(tempo)[1] 4.278843 5.211157Temos uma amostra de 15 árvores, todas com 8 anos de idade numa certa floresta. O diâmetro das árvores, em polegadas, foram medidos à uma altura de 3 pés:
tree<-c(19.4, 21.4, 22.3, 22.1, 20.1, 23.8, 24.6, 19.9, 21.5, 19.1, 18.9, 22.2,
21.6, 22.7, 20.2)
IC(tree, conf=.90)[1] 20.54647 22.09353IC(tree)[1] 20.37806 22.26194IC(tree, conf=.99)[1] 20.01264 22.62736Da mesma forma que um conjunto de médias amostrais são distribuídas nas proximidades da média populacional, as proporções amostrais \(\widehat{p}\) são distribuídas ao redor da verdadeira proporção populacional \(p\).
Devido ao Teorema Central do Limite, para \(n\) grande e \(p\) não muito próximo de \(0\) ou \(1\), a distribuição de \(\widehat{p}\) será aproximadamente normalmente distribuída com média \(p\) e uma variância dada por, \(\displaystyle{\frac{p(1-p)}{n}}\).
Podemos usar isto na construção de um intervalo de confiança para a verdadeira proporção \(p\).
\[ \left( \widehat{p} - Z_{(\alpha / 2)}\displaystyle{\sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}} ; \widehat{p} + Z_{(\alpha / 2)}\displaystyle{\sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}} \right) \]
em que o erro padrão (SE) é igual \(\displaystyle{\sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}}\)
Uma regra geral é que este intervalo de confiança é válido quando temos ambos \(n\widehat{p}\) e \(n(1 − \widehat{p})\) maiores do que digamos \(10\).
Um ensaio clínico foi realizado para determinar a preferência entre dois anagélsicos, A e B, contra dor de cabeça. \(100\) pacientes que sofrem de dor de cabeça crônica receberam em dois tempos diferentes o analgésico A e o analgésico B. A ordem na qual os pacientes receberam os analgésicos foi determinada ao acaso. Os pacientes desconheciam esta ordem. Ao final do estudo foi perguntado a cada paciente qual analgésico lhe proporcionou maior alívio: o primeiro ou o segundo. Dos 100 pacientes, 45 preferiram A e 55 preferiram B. Baseado nestas informações podemos dizer que há prefência por algum dos analgésicos? Dizemos que não há preferência por um dos analgésicos quando a proporção dos que preferem \(A (p_A)\), é igual a proporção dos que preferem \(B (p_B )\). Como temos dois resultados possíveis, \(p_A\) e \(p_B\) são iguais quando \(p_A = p_B = 0,5\). Um intervalo de \(95\%\) de confiança para a verdadeira proporção de pacientes que preferem o analgésico A é:
conf = 0.95
ic<-function (p, conf = 0.95){
n <- length(x)
q <- 1-p
quantis <- qnorm(1-(1-conf)/2)
ic <- c(p - quantis * sqrt((p*q)/n),p + quantis * sqrt((p*q)/n))
return(ic)
}
x<-c(rep("A",45),rep("B",55))
p<-45/length(x)
ic(p,conf=.99)[1] 0.3218541 0.5781459ic(p)[1] 0.352493 0.547507prop.test(p*n, n, correct = FALSE)
1-sample proportions test without continuity correction
data: p * n out of n, null probability 0.5
X-squared = 1, df = 1, p-value = 0.3173
alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
0.3561454 0.5475540
sample estimates:
p
0.45 Considere os dados de um estudo investigando a existência de um balanço entre a proporção de peixes machos e fêmeas de uma certa espécie em dois lagos distintos. A proporção observada de machos capturados no primeiro lago foi \(74.42\%\) dentre \(43\) capturados e no segundo foi \(60\%\) dentre \(50\). Podemos agora construir intervalos de confiança para as percentagens correspondente nas populações dos dois lagos.
n1<-43
n2<-50
p1<-0.744
q1<-1-p1
p2<-0.6
ic1<-p1+qnorm(c(0.025, 0.975))*sqrt(p1*q1/n1)
ic1[1] 0.6135571 0.8744429ic2<-p2+qnorm(c(0.025, 0.975))*sqrt(p2*(1-p2)/n2)
ic2[1] 0.4642097 0.7357903Consideremos uma amostra aleatória \(X_1..., X_n\) de tamanho \(n\) de uma população com distribuição Normal com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\). Um estimador para \(\sigma^2\) é a variância amostral \(s^2\). Assim, sabemos que a quantidade pivotal:
\[ Q = \displaystyle{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}} \sim \chi_{(n-1)}^{2} \]
Logo, o intervalo com nível \(100(1-\alpha)\%\) de confiança para \(\sigma^2\) será dado por:
\[ IC(\sigma^2, 1-\alpha) = \left( \displaystyle{\frac{(n-1)s^2}{Q_{(1-\alpha / 2})}, \frac{(n-1)s^2}{Q_{(\alpha / 2})}} \right) \]
Foi observado pacientes de uma determinada clinica para tratamento de sobrepeso. A variável aleatória peso do paciente, supõe ter distribuição Normal. Pretende-se estudar a variabilidade do peso dos referidos pacientes. Para isso, uma amostra de tamanho 11 foi obtida, cujos valores em Kg são:
peso<-c(98,97,102,100,98,101,102,105,95,102,100)
n<-length(peso)
s2<-var(peso)
ic.sigma2<-(n-1)*s2/qchisq(c(.975, 0.025), n-1)
ic.sigma2[1] 3.905644 24.638334